RAS प्रश्न
एक परीक्षा में 35% छात्र हिंदी में, 45% अंग्रेज़ी में और 20% दोनों में अनुत्तीर्ण हुए। दोनों विषयों में कितने प्रतिशत छात्र उत्तीर्ण हुए?
सही उत्तर: (C) 40%।
दोनों विषयों में उत्तीर्ण छात्रों का प्रतिशत 40% है।
व्याख्या
यह प्रश्न समुच्चय सिद्धांत के संघ सूत्र पर चलता है। NCERT में दो परिमित समुच्चयों के लिए सूत्र दिया है: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)। यहां A को हिंदी में अनुत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय और B को अंग्रेज़ी में अनुत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय मानें। कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण छात्र = 35% + 45% - 20% = 60% होंगे, क्योंकि दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण 20% छात्रों को जोड़ में दो बार गिना गया था। इसलिए दोनों विषयों में उत्तीर्ण छात्र वे हैं जो इस 60% में नहीं आते। कुल 100% में से 60% घटाने पर 40% छात्र दोनों विषयों में उत्तीर्ण हैं।
बाक़ी विकल्प ग़लत क्यों हैं
- (A) 50% पाने के लिए कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण छात्रों को 50% मानना पड़ेगा, जबकि संघ सूत्र से यह संख्या 60% आती है।
- (B) 45% केवल अंग्रेज़ी में अनुत्तीर्ण छात्रों का दिया हुआ प्रतिशत है; यह दोनों विषयों में उत्तीर्ण छात्रों का पूरक नहीं है।
- (D) 35% केवल हिंदी में अनुत्तीर्ण छात्रों का दिया हुआ प्रतिशत है; दोनों विषयों में उत्तीर्ण निकालने के लिए दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण 20% को घटाकर संघ बनाना जरूरी है।
अवधारणा
यह प्रश्न समुच्चय के संघ और प्रतिच्छेद का प्रयोग जांचता है। RAS में ऐसे प्रश्न बार-बार आते हैं क्योंकि प्रतिशत, वेन आरेख और दोहराव हटाने की समझ एक ही छोटे गणितीय ढांचे में जांची जा सकती है।