RAS प्रश्न
एक थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। बिना प्रतिस्थापन के 2 गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों लाल होने की प्रायिकता है:
सही उत्तर: (D) 5/14।
5 लाल और 3 नीली गेंदों वाले थैले से बिना प्रतिस्थापन 2 गेंदें निकालने पर दोनों के लाल होने की प्रायिकता 5/14 है।
व्याख्या
कुल गेंदें 8 हैं, इसलिए पहली गेंद लाल आने की प्रायिकता 5/8 है। क्योंकि गेंद वापस नहीं रखी जाती, पहली लाल गेंद निकलने के बाद थैले में कुल 7 गेंदें बचती हैं और लाल गेंदें 4 रह जाती हैं। इसलिए दूसरी गेंद लाल आने की सशर्त प्रायिकता 4/7 होगी। NCERT के प्रायिकता अध्याय में इसी तरह बिना प्रतिस्थापन निकाली गई गेंदों के लिए गुणन नियम लगाया गया है: दोनों घटनाओं के साथ घटने की प्रायिकता पहली घटना की प्रायिकता और दूसरी घटना की सशर्त प्रायिकता के गुणन से मिलती है। इसलिए दोनों लाल आने की प्रायिकता 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 है। संयोजन विधि से भी C(5,2)/C(8,2) = 10/28 = 5/14 मिलता है।
बाक़ी विकल्प ग़लत क्यों हैं
- (A) 3/8 में पहली लाल गेंद के बाद लाल गेंदों की संख्या 4 और कुल गेंदों की संख्या 7 रह जाने वाली सशर्त प्रायिकता को सही तरह नहीं जोड़ा गया है।
- (B) 5/8 केवल पहली गेंद लाल आने की प्रायिकता है; यह दोनों गेंदें लाल आने की संयुक्त प्रायिकता नहीं है।
- (C) 25/64 ऐसा मान है जैसे दोनों बार 5/8 ही लगा दिया गया हो, जबकि बिना प्रतिस्थापन दूसरी बार प्रायिकता 4/7 हो जाती है।
अवधारणा
यह प्रश्न सशर्त प्रायिकता और बिना प्रतिस्थापन वाले चयन में गुणन नियम की समझ जांचता है। RAS में यह अवधारणा इसलिए बार-बार आती है क्योंकि छोटे संख्यात्मक प्रश्नों में निर्भर घटनाओं की पहचान ही पूरे हल को तय करती है।