RAS प्रश्न
4 क्षैतिज और 3 ऊर्ध्वाधर रेखाओं से बनी आकृति में कितने आयत (वर्ग सहित) हैं?
सही उत्तर: (B) 18।
4 क्षैतिज और 3 ऊर्ध्वाधर रेखाओं से बनी आकृति में आयतों, वर्ग सहित, की कुल संख्या 18 होती है।
व्याख्या
आयत गिनने का आधार संचय है, क्योंकि रेखाओं को क्रम में सजाना नहीं, बल्कि चुनना होता है। NCERT के अनुसार संचय में चयन का क्रम नहीं गिना जाता। किसी भी आयत के लिए 2 क्षैतिज रेखाएं उसकी ऊपर और नीचे की सीमाएं बनाती हैं, और 2 ऊर्ध्वाधर रेखाएं बाईं और दाईं सीमाएं बनाती हैं। इसलिए 4 क्षैतिज रेखाओं में से 2 चुनने के तरीके C(4,2) = 6 हैं। इसी तरह 3 ऊर्ध्वाधर रेखाओं में से 2 चुनने के तरीके C(3,2) = 3 हैं। हर क्षैतिज जोड़ा हर ऊर्ध्वाधर जोड़े के साथ एक आयत बनाता है, इसलिए कुल आयत 6 × 3 = 18 हैं।
बाक़ी विकल्प ग़लत क्यों हैं
- (A) 12 केवल कम गिनती देता है; इसमें 4 क्षैतिज रेखाओं से बनने वाले सभी 6 क्षैतिज जोड़ों और 3 ऊर्ध्वाधर जोड़ों का पूरा गुणनफल शामिल नहीं है।
- (C) 24 अधिक गिनती है, क्योंकि सही चयन C(4,2) × C(3,2) है, न कि ऐसा कोई तरीका जो 6 × 3 से ज्यादा आयत दे।
- (D) 15 में चयन के दोनों हिस्सों, 2 क्षैतिज रेखाओं के 6 तरीके और 2 ऊर्ध्वाधर रेखाओं के 3 तरीके, का पूरा गुणन नहीं आता।
अवधारणा
संचय और आकृति-गणना की बुनियादी समझ ऐसे आयत-गणना अभ्यासों में जरूरी होती है। RAS में ऐसे प्रश्न बार-बार आते हैं क्योंकि वे बिना लंबी गणना के चयन, युग्म और व्यवस्थित गिनती की शुद्धता परखते हैं।