RAS प्रश्न
दिए गए 4 अलग-अलग अक्षरों वाले शब्द के सभी अक्षरों से कितने भिन्न शब्द बनाए जा सकते हैं?
सही उत्तर: (D) 24।
4 अलग-अलग अक्षरों वाले शब्द के सभी अक्षरों से बनने वाली भिन्न व्यवस्थाओं की संख्या 4! यानी 24 होती है।
व्याख्या
सभी 4 अक्षर अलग-अलग हैं और हर व्यवस्था में चारों अक्षरों का प्रयोग एक-एक बार होना है। इसलिए पहली जगह भरने के 4 विकल्प मिलते हैं। एक अक्षर रख देने के बाद दूसरी जगह के लिए 3 विकल्प बचते हैं, तीसरी जगह के लिए 2 और चौथी जगह के लिए 1 विकल्प। मूल गणना सिद्धांत के अनुसार कुल व्यवस्थाएँ 4 × 3 × 2 × 1 = 24 होंगी। NCERT के इसी प्रकार के उदाहरण में 4 अलग-अलग अक्षरों से, बिना पुनरावृत्ति, बनने वाले शब्दों की संख्या 24 बताई गई है। यही 4! का अर्थ है। यदि अक्षर दोहराए जाते, तभी पुनरावृत्ति के क्रमगुणित से भाग देना पड़ता।
बाक़ी विकल्प ग़लत क्यों हैं
- (A) 16 तब मिल सकता है जब हर स्थान पर 4 विकल्प मानकर पुनरावृत्ति जैसी गिनती की जाए, जबकि यहाँ अक्षर अलग-अलग हैं और दोहराने नहीं हैं।
- (B) 12 केवल 4 × 3 तक की आंशिक गिनती जैसा है; चारों अक्षरों की पूरी व्यवस्था में तीसरी और चौथी जगह भी गिनी जाती हैं।
- (C) 48 सही गिनती 24 से दोगुनी है; 4 अलग-अलग अक्षरों की सभी व्यवस्थाओं में 4! से अधिक कोई अतिरिक्त गुणक नहीं लगता।
अवधारणा
क्रमचय और मूल गणना सिद्धांत में छोटी व्यवस्थाओं को बिना सूची बनाए तेजी से गिना जाता है। RAS की तर्कशक्ति और मानसिक क्षमता में यह तरीका बार-बार उपयोगी होता है।