RAS प्रश्न
अंक 1, 2, 3, 4, 5 का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के कितनी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
सही उत्तर: (D) 60।
अंक 1, 2, 3, 4, 5 से बिना पुनरावृत्ति 3-अंकीय संख्याएँ 60 बनती हैं।
व्याख्या
यह प्रश्न क्रमचय का है, क्योंकि संख्या बनाते समय अंकों का क्रम बदलने से संख्या बदल जाती है। NCERT के अनुसार क्रमचय वस्तुओं को निश्चित क्रम में सजाने की व्यवस्था है, और n वस्तुओं में से r वस्तुएँ लेने पर संख्या nPr से निकाली जाती है। यहाँ 5 अलग-अलग अंक हैं और 3 स्थान भरने हैं, इसलिए P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 60। सीधे गिनें तो सैकड़ा स्थान के लिए 5 विकल्प हैं, फिर पुनरावृत्ति न होने से दहाई के लिए 4 और इकाई के लिए 3 विकल्प बचते हैं। कुल 5 × 4 × 3 = 60।
बाक़ी विकल्प ग़लत क्यों हैं
- (A) 80 इसलिए गलत है क्योंकि तीनों स्थानों के विकल्प क्रमशः 5, 4 और 3 हैं; इनका गुणन 60 देता है, 80 नहीं।
- (B) 120 इसलिए गलत है क्योंकि 120 = 5! सभी 5 अंकों को एक साथ सजाने की संख्या है, जबकि प्रश्न में केवल 3-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं।
- (C) 125 इसलिए गलत है क्योंकि 125 = 5 × 5 × 5 तब आता जब हर स्थान पर अंक की पुनरावृत्ति की छूट होती; यहाँ पुनरावृत्ति मना है।
अवधारणा
यह प्रश्न क्रमचय और मूल गणना सिद्धांत की जाँच करता है। आरएएस में संख्या-निर्माण, बैठक-व्यवस्था और क्रम-आधारित गिनती के सवाल बार-बार इसी समझ पर टिके होते हैं।