आयतन — गोला, बेलन, घन, शंकु
मुख्य तथ्य
- घन की भुजा a हो तो आयतन a³ होता है; हर किनारा दोगुना होने पर आयतन 8 गुना हो जाता है।
- समान आधार-त्रिज्या और लंबवत ऊंचाई वाले शंकु का आयतन उसी बेलन के आयतन का एक-तिहाई होता है: (1/3)πr²h।
- गोले की त्रिज्या r हो तो आयतन (4/3)πr³ होता है; त्रिज्या की गलती उत्तर को तीसरी घात के अनुपात में बदल देती है।
- 1 लीटर = 1000 घन सेमी और 1 घन मीटर = 1000 लीटर का संबंध टंकी और क्षमता वाले प्रश्नों में निर्णायक रहता है।
मुख्य बिंदु
- 1
CET स्नातक के आधिकारिक पाठ्यक्रम में “गोले, बेलन, घन और शंकु का आयतन” दिया है; इसलिए यह विषय गोला, बेलन, घन और शंकु तक ही केंद्रित रहेगा।
- 2
आयतन घन इकाइयों में मापा जाता है: घन सेमी, घन मीटर और रूपांतरण के बाद लीटर जैसी क्षमता-इकाइयां।
- 3
घन की भुजा a हो तो आयतन a³ होता है; हर किनारा दोगुना होने पर आयतन 8 गुना हो जाता है।
- 4
बेलन की त्रिज्या r और ऊंचाई h हो तो आयतन πr²h होता है; व्यास दिया हो तो पहले उसे आधा करके त्रिज्या निकालें।
- 5
समान आधार-त्रिज्या और लंबवत ऊंचाई वाले शंकु का आयतन उसी बेलन के आयतन का एक-तिहाई होता है: (1/3)πr²h।
- 6
गोले की त्रिज्या r हो तो आयतन (4/3)πr³ होता है; त्रिज्या की गलती उत्तर को तीसरी घात के अनुपात में बदल देती है।
- 7
1 लीटर = 1000 घन सेमी और 1 घन मीटर = 1000 लीटर का संबंध टंकी और क्षमता वाले प्रश्नों में निर्णायक रहता है।
- 8
ढलाई या पिघलाकर नया ठोस बनाने वाले प्रश्नों में कुल आयतन बराबर रखा जाता है; पृष्ठीय क्षेत्रफल सामान्यतः बदल जाता है।
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आयतन, क्षमता और इकाई की सावधानी
आयतन किसी त्रिविमीय ठोस द्वारा घेरे गए स्थान को बताता है। क्षमता किसी खोखले पात्र में समा सकने वाली मात्रा को बताती है। CET के आयतन प्रश्नों में दोनों के लिए कई बार वही गणना लगती है, लेकिन प्रश्न की भाषा बताती है कि ठोस का आयतन चाहिए या अंदर की उपयोगी क्षमता। 5 सेमी भुजा वाले घन का आयतन 125 घन सेमी है; 5 सेमी भीतरी भुजा वाले घनाकार पात्र की क्षमता भी 125 घन सेमी, यानी 0.125 लीटर होगी।
मुख्य सावधानी इकाई की है। लंबाई सेमी, मीटर या किमी में होती है; क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में और आयतन घन इकाइयों में होता है। सभी माप सेमी में हों तो आयतन घन सेमी में आएगा। सभी माप मीटर में हों तो आयतन घन मीटर में आएगा। अलग-अलग इकाइयां दी हों तो सूत्र लगाने से पहले उन्हें एक इकाई में लाना जरूरी है। क्षमता में 1 लीटर = 1000 घन सेमी, 1 मिलीलीटर = 1 घन सेमी और 1 घन मीटर = 1000 लीटर याद रखें। 2 मीटर × 1 मीटर × 50 सेमी की टंकी को पहले 2 मीटर × 1 मीटर × 0.5 मीटर लिखेंगे; आयतन 1 घन मीटर, यानी 1000 लीटर मिलेगा।
परीक्षा में क्रम यही रखें: पहले सभी माप एक इकाई में लाएं, फिर आयतन का सूत्र लगाएं, और अंत में जरूरत हो तो उत्तर को लीटर में बदलें।
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