अनुपात, समानुपात एवं प्रतिशत — RPSC SI 2026

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अनुपात, समानुपात एवं प्रतिशतअनुपात, समानुपात एवं प्रतिशत

1. अनुपात दो राशियों को भाग देकर की गई क्रमबद्ध तुलना है; a:b और b:a का अर्थ आमतौर पर अलग होता है।
2. अनुपात बनाने से पहले तुलना की राशियों की इकाई समान करें, फिर समान गुणनखंड काटें।
3. समतुल्य अनुपातों का मान समान होता है; a:b = c:d की जाँच ad = bc से होती है।
4. समानुपात में पहला और चौथा पद बाह्य पद तथा बीच के दोनों पद मध्य पद कहलाते हैं।
5. Q को m:n में बाँटने पर हिस्से Q×m/(m+n) और Q×n/(m+n) होते हैं।
6. अनुलोम समानुपात में y/x स्थिर रहता है, जबकि प्रतिलोम समानुपात में xy स्थिर रहता है।
7. ऐकिक विधि में पहले 1 इकाई का मान निकाला जाता है और फिर आवश्यक इकाइयों का मान मिलता है।
8. प्रतिशत का अर्थ प्रति सौ है: x% = x/100; भिन्न और दशमलव को जहाँ संभव हो ठीक-ठीक प्रतिशत में बदलें।
9. प्रतिशत परिवर्तन में हर हमेशा पुराना मान होता है, जब तक कोई दूसरा आधार साफ़ तौर पर न दिया हो।
10. x% वृद्धि के बाद x% कमी करने पर कुल x²/100 प्रतिशत की कमी होती है।
11. a% और b% के क्रमिक परिवर्तन का संयुक्त मान a + b + ab/100 है; कमी को ऋण मानें।
12. प्रतिशत अंक दो दरों का सीधा अंतर बताता है; सापेक्ष प्रतिशत परिवर्तन उस अंतर की तुलना पुरानी दर से करता है।
13. मिश्रण और जनसंख्या के सवालों में भाग-से-भाग अनुपात और भाग-से-कुल भिन्न को अलग रखें।
14. अनुमान और उत्तर को वापस रखकर जाँचने से गलत आधार, उलटा क्रम और दशमलव की गलती जल्दी पकड़ में आती है।

मुख्य तथ्य

ऐकिक विधि में पहले 1 इकाई का मान निकाला जाता है और फिर आवश्यक इकाइयों का मान मिलता है।
प्रतिशत का अर्थ प्रति सौ है: x% = x/100; भिन्न और दशमलव को जहाँ संभव हो ठीक-ठीक प्रतिशत में बदलें।
x% वृद्धि के बाद x% कमी करने पर कुल x²/100 प्रतिशत की कमी होती है।
a% और b% के क्रमिक परिवर्तन का संयुक्त मान a + b + ab/100 है; कमी को ऋण मानें।

मुख्य बिंदु

1
अनुपात दो राशियों को भाग देकर की गई क्रमबद्ध तुलना है; a:b और b:a का अर्थ आमतौर पर अलग होता है।
2
अनुपात बनाने से पहले तुलना की राशियों की इकाई समान करें, फिर समान गुणनखंड काटें।
3
समतुल्य अनुपातों का मान समान होता है; a:b = c:d की जाँच ad = bc से होती है।
4
समानुपात में पहला और चौथा पद बाह्य पद तथा बीच के दोनों पद मध्य पद कहलाते हैं।
5
Q को m:n में बाँटने पर हिस्से Q×m/(m+n) और Q×n/(m+n) होते हैं।
6
अनुलोम समानुपात में y/x स्थिर रहता है, जबकि प्रतिलोम समानुपात में xy स्थिर रहता है।
7
ऐकिक विधि में पहले 1 इकाई का मान निकाला जाता है और फिर आवश्यक इकाइयों का मान मिलता है।
8
प्रतिशत का अर्थ प्रति सौ है: x% = x/100; भिन्न और दशमलव को जहाँ संभव हो ठीक-ठीक प्रतिशत में बदलें।
9
प्रतिशत परिवर्तन में हर हमेशा पुराना मान होता है, जब तक कोई दूसरा आधार साफ़ तौर पर न दिया हो।
10
x% वृद्धि के बाद x% कमी करने पर कुल x²/100 प्रतिशत की कमी होती है।
11
a% और b% के क्रमिक परिवर्तन का संयुक्त मान a + b + ab/100 है; कमी को ऋण मानें।
12
प्रतिशत अंक दो दरों का सीधा अंतर बताता है; सापेक्ष प्रतिशत परिवर्तन उस अंतर की तुलना पुरानी दर से करता है।
13
मिश्रण और जनसंख्या के सवालों में भाग-से-भाग अनुपात और भाग-से-कुल भिन्न को अलग रखें।
14
अनुमान और उत्तर को वापस रखकर जाँचने से गलत आधार, उलटा क्रम और दशमलव की गलती जल्दी पकड़ में आती है।

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अनुपात: अर्थ, क्रम और इकाइयाँ

अनुपात एक क्रमबद्ध तुलना है

अनुपात दो राशियों को भाग देकर उनकी तुलना करता है। यदि 18 सिपाही और 12 वाहन हों, तो सिपाहियों का वाहनों से अनुपात 18:12 = 3:2 होगा। क्रम बदलने पर अर्थ भी बदलता है। वाहनों का सिपाहियों से अनुपात 12:18 = 2:3 है, 3:2 नहीं। a:b में a पूर्व पद और b उत्तर पद है। उत्तर पद शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है। दोनों पद शून्य होने पर 0:0 का कोई तय संख्यात्मक मान नहीं बनता। समान प्रकार की राशियों को भाग देने के बाद अनुपात की इकाई नहीं बचती, पर भाग देने से पहले दोनों राशियाँ तुलना योग्य होनी चाहिए।

समान इकाई का नियम

सरल करने से पहले इकाइयाँ समान करें। 2 मीटर और 50 सेंटीमीटर के लिए 200 सेंटीमीटर:50 सेंटीमीटर = 4:1 लिखेंगे। सीधे 2:50 लिखना गलत है, क्योंकि दोनों संख्याएँ अलग इकाइयों में हैं। यही नियम समय, धन, द्रव्यमान, क्षेत्रफल और आयतन पर लागू होता है। दो क्षेत्रफलों को एक ही वर्ग इकाई और दो आयतनों को एक ही घन इकाई में बदलें। लंबाई का रूपांतरण गुणक क्षेत्रफल या आयतन पर ज्यों का त्यों नहीं लगाया जा सकता।

समय का उदाहरण बताता है कि रूपांतरण पहले क्यों ज़रूरी है। 90 मिनट और 2 घंटे का अनुपात 90:2 नहीं होगा। 2 घंटे को 120 मिनट बनाकर 90:120 = 3:4 लिखें। दूसरा तरीका 90 मिनट को 1.5 घंटे बनाकर 1.5:2 को 3:4 करना है। दोनों में उत्तर समान है, क्योंकि हर ओर एक ही इकाई रखी गई। दशमलव पद हों तो सरल करने से पहले दोनों पदों को 10 की उचित घात से गुणा करें। 1.5:2 को 15:20 और फिर 3:4 लिखेंगे। इससे लिखने का रूप बदलता है, अनुपात का मान नहीं। अंतिम इकाई-जाँच के लिए हर पद के पास रूपांतरण लिखें, मन में न छोड़ें। इससे वर्ग और घन इकाइयाँ साफ़ दिखती हैं और गलत रूपांतरण पर सही सरलीकरण कर देने की गलती रुकती है।

सरलतम रूप और समतुल्यता

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग दें। 84:126 को 42 से भाग देने पर 2:3 मिलता है। दोनों पदों को एक ही अशून्य संख्या से गुणा या भाग देने पर समतुल्य अनुपात बनता है: 2:3 = 6:9 = 10:15। गणना में a:b को a/b लिख सकते हैं, लेकिन पदों का क्रम याद रखें। भाग-से-भाग अनुपात सीधे कुल का भिन्न नहीं बताता। लाल:नीला = 2:3 हो, तो लाल वस्तुओं का कुल में हिस्सा 2/(2+3) = 2/5 होगा, 2/3 नहीं।

तेज़ जाँच

हर सवाल में देखें: क्या इकाइयाँ समान हैं, क्या क्रम प्रश्न के शब्दों जैसा है, और क्या अनुपात सरलतम रूप में है? अनुपात 1 से छोटा, 1 के बराबर या 1 से बड़ा हो सकता है। केवल 3:5 से वास्तविक संख्याएँ तय नहीं होतीं; वे 3 और 5, 6 और 10 या किसी समान गुणक वाली जोड़ी हो सकती हैं। कुल या एक वास्तविक संख्या मिलने पर ही निश्चित मान निकलते हैं।

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