एक बिन्दु पर रेखाएँ एवं कोण; त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं समरूपता

एक बिंदु पर कोणों की ज़रूरी शब्दावली में आसन्न कोण, रेखीय युग्म, शीर्षाभिमुख कोण, पूरक कोण, संपूरक कोण और बिंदु के चारों ओर 360 डिग्री का कोण-योग शामिल है। एक बिंदु पर रेखाएँ और कोण ज्यामिति के छोटे लेकिन बहुत उपयोगी आधार हैं। दो किरणें जब एक ही प्रारंभिक बिंदु से निकलती हैं, तो कोण बनता है; उस सामान्य प्रारंभिक बिंदु को शीर्ष कहते हैं। वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में एक ही बिंदु से कई किरणें निकली हो सकती हैं, और काम चित्र को समीकरण में बदलने का होता है। पहले हर कोण को शीर्ष और दोनों भुजाओं से पहचानें, फिर देखें कि कौन-सा मानक संबंध लागू हो रहा है।

आसन्न कोण वे दो कोण हैं जिनका शीर्ष समान हो, एक भुजा समान हो और भीतर का भाग एक-दूसरे पर चढ़ा हुआ न हो। यदि एक किरण दो अन्य किरणों के बीच में है, तो बीच वाली किरण के दोनों ओर बने छोटे कोण आसन्न होंगे। उनके माप जोड़कर बाहरी किरणों से बने बड़े कोण का माप मिल सकता है। जैसे कोण कखग 35 डिग्री और कोण गखघ 50 डिग्री हों और दोनों आसन्न हों, तो कोण कखघ 85 डिग्री होगा। आसन्न का अर्थ बराबर नहीं है; यह केवल साथ-साथ स्थित होने और एक भुजा साझा करने की सूचना देता है।

रेखीय युग्म आसन्न कोणों का विशेष रूप है। इसमें दोनों कोणों की जो भुजाएँ साझा नहीं हैं, वे एक सीधी रेखा बनाती हैं, इसलिए उनका योग 180 डिग्री होता है। यह परीक्षा में सबसे अधिक काम आने वाला तथ्य है। यदि रेखीय युग्म का एक कोण 118 डिग्री है, तो दूसरा 62 डिग्री होगा। यदि दोनों कोण क + 20 और 2क - 10 लिखे हों, तो उनका योग 180 रखकर क निकाला जाएगा। सामान्य गलती यह है कि हर आसन्न कोण-युग्म को रेखीय युग्म मान लिया जाता है; रेखीय युग्म तभी होगा जब बाहर की भुजाएँ एक ही सीधी रेखा की विपरीत किरणें हों।

शीर्षाभिमुख कोण दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेद से बनते हैं। शीर्ष के आर-पार आमने-सामने के कोण बराबर होते हैं। यदि चार कोणों में से एक 70 डिग्री है, तो उसका शीर्षाभिमुख कोण भी 70 डिग्री होगा। उससे लगे हुए दोनों कोण 110 डिग्री होंगे, क्योंकि प्रत्येक 70 डिग्री के साथ रेखीय युग्म बनाता है। इसलिए दो रेखाओं के प्रतिच्छेद में एक कोण ज्ञात हो तो चारों कोण मिल जाते हैं।

किसी बिंदु के चारों ओर कोणों का योग 360 डिग्री होता है। जब कई किरणें एक बिंदु के चारों ओर पूरे घुमाव को छोटे-छोटे कोणों में बाँटती हैं, तो वे सभी कोण मिलकर 360 डिग्री देते हैं। यदि चार कोण 80 डिग्री, 95 डिग्री, 110 डिग्री और क हों, तो क = 75 डिग्री होगा। “बिंदु के चारों ओर” का संकेत पूरे घुमाव का है, सीधी रेखा का नहीं।

दो और जोड़े याद रखें। पूरक कोणों का योग 90 डिग्री होता है और संपूरक कोणों का योग 180 डिग्री। हर रेखीय युग्म संपूरक होता है, पर हर संपूरक जोड़ा आसन्न हो यह ज़रूरी नहीं। 40 डिग्री और 140 डिग्री अलग-अलग स्थानों पर भी संपूरक कहलाएँगे। इस स्तर के प्रश्नों में मुख्य निर्णय 90, 180 और 360 डिग्री में से सही आधार चुनना है। समकोण 90 डिग्री, ऋजु कोण 180 डिग्री और पूर्ण कोण 360 डिग्री होता है; यह साफ हो जाए तो अधिकांश प्रश्न एक पंक्ति के समीकरण में बदल जाते हैं।